\chapter{BCS超导理论的微观推导（1957）}
	
	\begin{abstract}
		本文详细推导了1957年由巴丁(J. Bardeen)、库珀(L. V. Cooper)和施里弗(J. R. Schrieffer)提出的超导微观理论——BCS理论的核心方程。从电子-声子相互作用出发，通过引入库珀对的概念，构建多体波函数并求解自洽方程，最终得到超导能隙和临界温度的表达式。理论成功解释了超导体的零电阻效应和迈斯纳效应等基本特征。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	传统超导体的微观机制长期困扰物理学界，直到1957年BCS理论的提出才得到完整解释。理论核心在于：
	
	\begin{itemize}
		\item 电子通过声子媒介产生有效吸引相互作用（库珀，1956）
		\item 费米面附近电子形成关联对（库珀对）
		\item 多体波函数的变分处理（施里弗，1957）
	\end{itemize}
	
	\section{电子-声子相互作用}
	电子-声子相互作用哈密顿量为：
	\begin{equation}
		H_{e-ph} = \sum_{k,q,\sigma} g_q c_{k+q,\sigma}^\dagger c_{k,\sigma} (a_q + a_{-q}^\dagger)
	\end{equation}
	其中$g_q$为耦合常数，$c$和$a$分别为电子和声子的湮灭算符。
	
	\section{库珀对的形成}
	考虑费米面附近两个电子$(k\uparrow, -k\downarrow)$的相互作用：
	
	\begin{equation}
		V_{kk'} = \begin{cases}
			-g & \text{当}|\epsilon_k|, |\epsilon_{k'}| < \hbar\omega_D \\
			0 & \text{其他情况}
		\end{cases}
	\end{equation}
	其中$\omega_D$为德拜频率。库珀证明这种吸引势会导致束缚态出现。
	
	\section{BCS基态波函数}
	施里弗提出以下试探波函数：
	\begin{equation}
		|\Psi_{BCS}\rangle = \prod_k (u_k + v_k c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger)|0\rangle
	\end{equation}
	其中$|u_k|^2 + |v_k|^2 = 1$，$v_k$表示k态被占据的概率。
	
	\section{能隙方程推导}
	通过最小化自由能$\langle H - \mu N \rangle$得到：
	
	\begin{align}
		\Delta_k &= -\sum_{k'} V_{kk'} \frac{\Delta_{k'}}{2E_{k'}} \\
		E_k &= \sqrt{\xi_k^2 + |\Delta_k|^2}
	\end{align}
	其中$\xi_k = \epsilon_k - \mu$，$\Delta_k$为能隙函数。
	
	在BCS近似下（$V_{kk'} = -g$），得到自洽方程：
	
	\begin{equation}
		1 = g N(0) \int_0^{\hbar\omega_D} \frac{d\xi}{\sqrt{\xi^2 + \Delta^2}} \tanh\left(\frac{\sqrt{\xi^2 + \Delta^2}}{2k_B T}\right)
	\end{equation}
	
	\section{零温解}
	在$T=0$ K时，方程简化为：
	\begin{equation}
		1 = N(0)g \sinh^{-1}\left(\frac{\hbar\omega_D}{\Delta_0}\right)
	\end{equation}
	当$N(0)g \ll 1$（弱耦合极限）时：
	\begin{equation}
		\Delta_0 \approx 2\hbar\omega_D e^{-1/N(0)g}
	\end{equation}
	
	\section{临界温度}
	当$T \to T_c$，$\Delta \to 0$，得到：
	\begin{equation}
		k_B T_c \approx 1.13 \hbar\omega_D e^{-1/N(0)g}
	\end{equation}
	
	\section{结论}
	BCS理论通过：
	\begin{itemize}
		\item 电子-声子媒介的吸引相互作用
		\item 库珀对凝聚
		\item 平均场近似处理
	\end{itemize}
	成功解释了超导现象，理论预言与实验观测高度一致。
